Lukuteorian perusteet ovat kovin yksinkertaiset. Siksi on hämmästyttävää, kuinka paljon aktiviteettia, turhautumista ja erilaisia teorioita asian ympärillä on ollut viimeisen 2500 vuoden aikana. Jo antiikin kreikkalaisilla oli aikaa puljata alkulukujen kanssa. Eratosthenes keksi seulansa ja Euclides todisti (300 eKr), että alkulukuja on ääretön määrä. Paljon myöhemmin asia kulmoitui Riemannin tutkimuksiin 1850 luvulla, jolloin hän esitti kuuluisan hypoteesinsa. Riemannin varsinainen tulos oli se, että alkulukujen esiintymiselle pystyttiin esittämään tarkka kaava. Se tulos on kuitenkin jäänyt hieman pimentoon, niinsanotun Riemannin hypoteesin alle.
Clay instituutti on luvannut Riemannin hypoteesin todistamisesta miljoona dollaria. Saa nähdä, ratkeaako ongelma rahan avulla. Moni ”ikuinen ongelma” on ratkennut viimeisten vuosikymmenien aikana. Fermatin teoreema todistettiin 15 vuotta sitten. Kartan neliväriongelma samoin. Riemannin hypoteesi on yksi suurista jäljellejääneistä isoista ongelmista.
Alkulukujen teoria teos on mielenkiintoinen yhdistelmä henkilöhistoriaa ja matematiikan teorioiden taustoja. Kirjassa kerrotaan Riemannin, Dedekindin, Eulerin ja heidän senaikaisten kollegoiden elämästä suhteessa siihen, mikä oli maailman tila siihen aikaan. On mieltäylentävää havaita, kuinka paljon siihen aikaan oli intohimoa tieteitä ja sen suuria haasteita kohtaan. Tiedemiehen elämä tuonaikaisessa maailmassa oli taloudellisesti erittäin niukkaa. Köyhää. Sairauksia oli ja nälkää nähtiin. Se ei kuitenkaan estänyt luovien aivojen keksimästä uusia mullistavia asioita ja teorioita.
Riemannin hypoteesi pyörii Riemannin Zeta funktion ympärillä. Tämä funktio on varsinainen outolintu. Negatiivisten reaalilukujen avulla sillä on juuri jokaisella parillisella kokonaisluvulla. Näiden juurten välissä reaaliargumentttinen funktio saa huomattavan korkeita arvoja (joskus nollia on tuhansia). Riemann Zeta funktio negatiivisilla reaaliluvuilla heiluu, kuin heinämies.
Vielä kummallisempaa Zeta funktiossa ovat kuitenkin sen kompleksitason juuret. Riemannin todistamattoman hypoteesin mukaan juuria on ääretön määrä siten, että kaikkien juurien reaaliarvo on tasan ½. Tämä on se oletus, joka nykyään on tuhansien erilaisten matemaattisten teorioiden kulmakivi. Jos Riemannin hypoteesi osoittautuisi vääräksi, silloin huomattavan monilta matematiikan haaroilta putoaisi pohja pois.
Ohessa kuvio tästä oudosta oliosta:
Erityisen olennaista Riemannin hypoteesi on siksi, että nämä imaginääriset juuret muodostavat komponentit yhtälöön, jolla alkulukujen jakauma (ns. pii funktio) voidaan laskea tarkasti. Mitä on lukujen takana? Se on se olennainen kysymys, joka ei vielä ole saanut kunnon vastausta. Russell muun muassa yritti vastata tähän kysymykseen 1900 luvun alussa Principia Mathematica teoksessaan. Ensimmäiset pari sataa sivua meni sen pohdiskelemiseen, mikä on luvun yksi perimmäinen idea. Ei tullut selväksi asia silloin, eikä se ole sen selvempää tänäkään päivänä.
Uskon itse, että alkuluvut ovat se perusta, johon lähes kaikki matematiikka perimmältään perustuu. Alkulukujen lumoissa teos esittää mielenkiintoisen anekdootin. Eräs matemaatikko oli pohtinut, mitä hän tekisi, jos kuolemansa jälkeen yht’ äkkiä heräisi 300 vuoden jälkeen. Hänen ensimmäinen kysymyksensä olisi: ”onko Riemannin hypoteesi jo todistettu?”.
Alkuluvut ovat myös hämmästyttävässä roolissa nykyajan tietoliikenteen maailmassa. Lähes kaikki tiedon salaamiseen liittyvät tietokonealgoritmit perustuvat alkulukuihin. Iso, kahden alkuluvun tulosta koostuva numero on erittäin vaikea jakaa tekijöihinsä. Jos tunnen tekijät (salainen avain), voin avata salatut viestit helposti. Jos taas en tunne tekijöitä, en saa niitä selville sitten mitenkään. Toisaalta, esittämällä kahden alkuluvun tulon (julkinen avain), pystyn todistamaan oman identiteettini. Alkuluvut tarjoavat erinomaisen tehokkaan tavan kommunikoidan Internetissä turvallisesti. Vain alkulukujen avulla voin luottaa siihen, että pankkiyhteyttäni ei voi kukaan kuunnella tai manipuloida.
Nykyään uskotaan, että kokonaislukujen tekijöihinjako ei ole mahdollista polynomisessa ajassa. Sitä ei kuitenkaan ole todistettu. Jos joku keksisi keinon, jolla se olisi mahdollista, menisi kaikkien nykyajan tietoliikenneverkkojen (Internet, GSM, 3G) teknologia perusteiltaan kokonaan uusiksi.
Itse olen sitä mieltä, että on olemassa jokin (vielä) salattu yhteys informaatioteorian, lukuteorian ja matemaattisen fysiikan välillä. Yhdistävä tekijä on mielestäni entropia. Fysiikassa entropian käsite esitellään jonkinlaisena peruslakina, mutta sen perimmäistä taustaa ei oikein ymmärretä. Esitetään väitteitä, kuten A) entropia suljetussa järjestelmässä ei pienene (termodynamiikan toinen pääsääntö) tai B) entropialla on ”luontainen” ominaisuus kasvaa (kolmas pääsääntö). Näitä periaatteita soveltamalla saa aikaan hyviä insinööritieteen helmiä, mutta en usko niiden perimmäisen olemuksen olevan vielä selvillä. Onko termodynamiikan kolmas pääsääntö edes tosi kaikissa olosuhteissa?
Lukuteorian eräät satunnaispiirteet muistuttavat entropiaa ja fysiikkaa. Jotkin kaavat näyttävät epäilyttävän samanlaisilta. Riemannin Zeta funktiokin pelmahtaa esiin siellä täällä matemaattisessa fysiikassa. Olen vakuuttunut siitä, että yhteys on olemassa näiden kahden välillä ja, kun sen yhteyden löytää, jotain täysin uutta on keksitty.
Toisaalta, jo 20 vuotta sitten ihmettelin informaatioteorian ja fysiikan muotojen samankaltaisuutta. Claude Shannonin informaatioteorian formalismi olisi voinut olla suoraan statistisen fysiikan oppikirjasta (terminologia tosin erosi toisistaan). Sekään ei voi olla sattumaa ja toistaiseksi piilossa ollut yhteys kyllä löytyy. Ja, kun se löytyy, seuraukset voivat olla suuria.
http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
http://www.terracognita.fi/kirjat/9525202755.html
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti