Riemannin hypoteesi

Olen ollut jonkin verran matkoilla, joten aikaa on ollut lukea uutta kirjallisuutta. Viimeisin kirjatuttavuus on ollut Alkulukujen lumoissa, John Derbyshire. Se oli minulle, kuin dekkari, jota ei malttanut päästää kädestään. Tiedättehän sen tunteen: hyvä kirja pitää otteessaan aamuyön tunteina, eikä nukkumista voi ajatellakaan, kun mielenkiintoinen tarinan käänne seuraa toistaan.

Lukuteorian perusteet ovat kovin yksinkertaiset. Siksi on hämmästyttävää, kuinka paljon aktiviteettia, turhautumista ja erilaisia teorioita asian ympärillä on ollut viimeisen 2500 vuoden aikana. Jo antiikin kreikkalaisilla oli aikaa puljata alkulukujen kanssa. Eratosthenes keksi seulansa ja Euclides todisti (300 eKr), että alkulukuja on ääretön määrä. Paljon myöhemmin asia kulmoitui Riemannin tutkimuksiin 1850 luvulla, jolloin hän esitti kuuluisan hypoteesinsa. Riemannin varsinainen tulos oli se, että alkulukujen esiintymiselle pystyttiin esittämään tarkka kaava. Se tulos on kuitenkin jäänyt hieman pimentoon, niinsanotun Riemannin hypoteesin alle.

Clay instituutti on luvannut Riemannin hypoteesin todistamisesta miljoona dollaria. Saa nähdä, ratkeaako ongelma rahan avulla. Moni ”ikuinen ongelma” on ratkennut viimeisten vuosikymmenien aikana. Fermatin teoreema todistettiin 15 vuotta sitten. Kartan neliväriongelma samoin. Riemannin hypoteesi on yksi suurista jäljellejääneistä isoista ongelmista.

Alkulukujen teoria teos on mielenkiintoinen yhdistelmä henkilöhistoriaa ja matematiikan teorioiden taustoja. Kirjassa kerrotaan Riemannin, Dedekindin, Eulerin ja heidän senaikaisten kollegoiden elämästä suhteessa siihen, mikä oli maailman tila siihen aikaan. On mieltäylentävää havaita, kuinka paljon siihen aikaan oli intohimoa tieteitä ja sen suuria haasteita kohtaan. Tiedemiehen elämä tuonaikaisessa maailmassa oli taloudellisesti erittäin niukkaa. Köyhää. Sairauksia oli ja nälkää nähtiin. Se ei kuitenkaan estänyt luovien aivojen keksimästä uusia mullistavia asioita ja teorioita.

Riemannin hypoteesi pyörii Riemannin Zeta funktion ympärillä. Tämä funktio on varsinainen outolintu. Negatiivisten reaalilukujen avulla sillä on juuri jokaisella parillisella kokonaisluvulla. Näiden juurten välissä reaaliargumentttinen funktio saa huomattavan korkeita arvoja (joskus nollia on tuhansia). Riemann Zeta funktio negatiivisilla reaaliluvuilla heiluu, kuin heinämies.

Vielä kummallisempaa Zeta funktiossa ovat kuitenkin sen kompleksitason juuret. Riemannin todistamattoman hypoteesin mukaan juuria on ääretön määrä siten, että kaikkien juurien reaaliarvo on tasan ½. Tämä on se oletus, joka nykyään on tuhansien erilaisten matemaattisten teorioiden kulmakivi. Jos Riemannin hypoteesi osoittautuisi vääräksi, silloin huomattavan monilta matematiikan haaroilta putoaisi pohja pois.

Ohessa kuvio tästä oudosta oliosta:





Erityisen olennaista Riemannin hypoteesi on siksi, että nämä imaginääriset juuret muodostavat komponentit yhtälöön, jolla alkulukujen jakauma (ns. pii funktio) voidaan laskea tarkasti. Mitä on lukujen takana? Se on se olennainen kysymys, joka ei vielä ole saanut kunnon vastausta. Russell muun muassa yritti vastata tähän kysymykseen 1900 luvun alussa Principia Mathematica teoksessaan. Ensimmäiset pari sataa sivua meni sen pohdiskelemiseen, mikä on luvun yksi perimmäinen idea. Ei tullut selväksi asia silloin, eikä se ole sen selvempää tänäkään päivänä.

Uskon itse, että alkuluvut ovat se perusta, johon lähes kaikki matematiikka perimmältään perustuu. Alkulukujen lumoissa teos esittää mielenkiintoisen anekdootin. Eräs matemaatikko oli pohtinut, mitä hän tekisi, jos kuolemansa jälkeen yht’ äkkiä heräisi 300 vuoden jälkeen. Hänen ensimmäinen kysymyksensä olisi: ”onko Riemannin hypoteesi jo todistettu?”.

Alkuluvut ovat myös hämmästyttävässä roolissa nykyajan tietoliikenteen maailmassa. Lähes kaikki tiedon salaamiseen liittyvät tietokonealgoritmit perustuvat alkulukuihin. Iso, kahden alkuluvun tulosta koostuva numero on erittäin vaikea jakaa tekijöihinsä. Jos tunnen tekijät (salainen avain), voin avata salatut viestit helposti. Jos taas en tunne tekijöitä, en saa niitä selville sitten mitenkään. Toisaalta, esittämällä kahden alkuluvun tulon (julkinen avain), pystyn todistamaan oman identiteettini. Alkuluvut tarjoavat erinomaisen tehokkaan tavan kommunikoidan Internetissä turvallisesti. Vain alkulukujen avulla voin luottaa siihen, että pankkiyhteyttäni ei voi kukaan kuunnella tai manipuloida.

Nykyään uskotaan, että kokonaislukujen tekijöihinjako ei ole mahdollista polynomisessa ajassa. Sitä ei kuitenkaan ole todistettu. Jos joku keksisi keinon, jolla se olisi mahdollista, menisi kaikkien nykyajan tietoliikenneverkkojen (Internet, GSM, 3G) teknologia perusteiltaan kokonaan uusiksi.

Itse olen sitä mieltä, että on olemassa jokin (vielä) salattu yhteys informaatioteorian, lukuteorian ja matemaattisen fysiikan välillä. Yhdistävä tekijä on mielestäni entropia. Fysiikassa entropian käsite esitellään jonkinlaisena peruslakina, mutta sen perimmäistä taustaa ei oikein ymmärretä. Esitetään väitteitä, kuten A) entropia suljetussa järjestelmässä ei pienene (termodynamiikan toinen pääsääntö) tai B) entropialla on ”luontainen” ominaisuus kasvaa (kolmas pääsääntö). Näitä periaatteita soveltamalla saa aikaan hyviä insinööritieteen helmiä, mutta en usko niiden perimmäisen olemuksen olevan vielä selvillä. Onko termodynamiikan kolmas pääsääntö edes tosi kaikissa olosuhteissa?

Lukuteorian eräät satunnaispiirteet muistuttavat entropiaa ja fysiikkaa. Jotkin kaavat näyttävät epäilyttävän samanlaisilta. Riemannin Zeta funktiokin pelmahtaa esiin siellä täällä matemaattisessa fysiikassa. Olen vakuuttunut siitä, että yhteys on olemassa näiden kahden välillä ja, kun sen yhteyden löytää, jotain täysin uutta on keksitty.

Toisaalta, jo 20 vuotta sitten ihmettelin informaatioteorian ja fysiikan muotojen samankaltaisuutta. Claude Shannonin informaatioteorian formalismi olisi voinut olla suoraan statistisen fysiikan oppikirjasta (terminologia tosin erosi toisistaan). Sekään ei voi olla sattumaa ja toistaiseksi piilossa ollut yhteys kyllä löytyy. Ja, kun se löytyy, seuraukset voivat olla suuria.


http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
http://www.terracognita.fi/kirjat/9525202755.html

Aurinkokennon maksimihyötysuhde on 93%

Vastaan itse asettamaani haasteeseen auronkokennon maksimaalisesta hyötysuhteesta. Tulos on 93%. Tämä tulos laskettiin seuraavalla periaatteella:

- Elektronikaasun entropia pienenee, kun elektronit siirtyvät "vapaasta moodista" virrankuljetusmoodiin.
- Elektronikaasun entropia kasvaa siltä osin, kun aurinkokennossa ilmenee tehottomuutta.
- Fotonikaasun entropia pienenee joka kerta, kun fotoni absorboituu elektroniin.

Nämä entropiamuutokset pitää olla yhteensä vähintään nolla, sillä muuten rikottaisiin termodynamiikan toista pääsääntöä. Näinollen saadaan aikaan epäyhtälö, joka samalla kuvaa aurinkokennon maksimaalista hyötysuhdetta.

Tarkemmat laskelmat löytyvät täältä:

http://www.smartgridnow.com/wp-content/uploads/2010/06/The-Theoretical-Limit-for-Solar-Cell-Efficiency-GP.pdf

Walking on thin ice

Erääseen presentaatioon koskien erään yrityksen toimintaa tein kalvon, jossa halusin kuvata seuraavaa:

- Tilanne voi vaikuttaa hyvältä juuri nyt, pohjautuen aikaisempien aikojen hyvään menestyksen.
- Hyviä tulevaisuuden mahdollisuuksia on olemassa.
- Mutta, vaikka tilanne on hyvä, on syytä olla varuillaan. Kaikenlaista voi sattua, sillä tulevaisuus tämän yhtiön kannalta on keskimääräistä suuremman sumeuden vallassa. Monta asiaa voi tapahtua, jotka rapauttaisivat yhtiön asemaa markkinalla. Monta ”varmaa” tilausta voi jäädä saamatta. Näihin epävarmuuksiin varautuminen on kaiken perusta. Tätä halusin kommunikoida.

Tuota sumeutta halusin korostaa sanonnalla ”walking on thin ice”. Siksi lähdin etsimään internetistä kuvaa, joka kertoisi samasta asiasta ja löysin tämän:



Siinä on Yoko Onon levyn kansi vuodelta 1981. Kuuntelin kappaleen, eikä ollut ollenkaan hassumpi. Itse asiassa se kuulosti melkein samalta, kuin jotkut nykyajan musiikkikappaleet. Aikaansa edellä.

Mielenkiintoisinta oli kuitenkin tarina tämän levytyksen takana. Yoko Ono ja John Lennon olivat tehneet kappaleen yhdessä. Vuonna 1980 he olivat palanneet New Yorkiin ja nauhoittivat sitä studiossa yötä myöten. Kappale valmistui ja John Lennon käveli kadulla valmis nauha kädessään. Silloin tuli vastaan Mark Chapman ja ampui John Lennonin.

Melkein ironiseksi tämän tragedian teki tämän levytyksen sanat. Ne kertovat elämän ennakoimattomuudesta – siitä, miten kaikki lopulta on arvan heittoa. Ainakin Lennonin ja Onon kannalta laulun sanat toteuttivat itsensä.

Vielä erikoisemmaksi asian tekee, että John Lennon asiantuntijoiden mukaan teki levyn kitrasooloissa parhaan suorituksensa ikinä.

http://en.wikipedia.org/wiki/Walking_on_Thin_Ice

Aurinkopaneelien tehokkuus

Aurinkopaneelien tehokkuus on nykyään tyypillisesti noin 20%.

Elektronisten aurinkovoimaloiden tekniikkaa kehitetään jatkuvasti. Jostain syystä ei kuitenkaan ole pystytty laskemaan, mikä on sähköä tuottavan aurinkopaneelin teoreettinen maksimihyötysuhde. Tämä on erikoista, sillä monen muun vastaavan asian teoria on kehitetty jo aikaa sitten. Lämpövoimakoneen teoreettinen hyötysuhde (Carnot) laskettiin jo 150 vuotta sitten. Samoin, tuulivoimalan suurin hyötysuhde (59%) saatiin selville Alfred Betzin toimesta jo 1919.

Miksi siis ei tiedetä aurinkokennon maksimaalista hyötysuhdetta? Luulen, että se johtuu tehtävän vaikeudesta. Ollaan vaikealla fysiikan aluella (kvanttielektrodynamiikka), jota vain harvat ymmärtävät.

Näinollen: julistan kilpailun. Sille, joka pystyyy aukottomasti todistamaan, että aurinkokennon hyötysuhteella on teoreettinen raja, tarjoan palkinnoksi 100 euroa. Kilpailun muut säännöt:
- todistuksesta pitää käydä ilmi rajan numeraalinen arvo
- on esitettävä hypoteettinen aurinkokenno, jolla tuo raja-arvo saavutettaisiin (Carnot koneen tyyliin)
- säteily oletetaan idealisoiduksi mustan kappaleen säteilyksi 5250 celcius asteen lämpötilassa
- kilpailun tuomarina toimin minä itse (vakuutan kuitenkin päätösten olevan reiluja)
- aurinkokenno tuottaa vain sähköä (lämmön tuotantoa ei lasketa mukaan)
- palkinto maksetaan käteisellä heti, kun hyväksyttävä vastaus on saapunut

Israelin tapahtumat

Jälleen kerran on isoa draamaa menossa Israelissa ja Gazassa.

Israelia syytetään roistomaisesta toiminnasta siinä, että he käyttivät tarpeetonta väkivaltaa avustuslaivan pysäyttämiseen.

Koko maailma tuomitsee nyt Israelin.

Minä kiinnitän huomiota median ja poliitikkojen mielipiteiden polarisoitumiseen. Asiaan suhtaudutaan kovin tunteeellisesti ja jätetään kokonaan huomiotta Israelin kanta asiaan.

Analyyttinen ja vastuullinen toiminta minusta edellyttäisi sitä, että myös vastapuolen argumentit kuunnellaan - vaikka olisi kuinka eri mieltä.

Tämä Israelin tapaus nimittäin herättää myös kysymyksiä. Ohessa se, mitä sain kaivettua Israelin kantoja asiaan:
- Israel on esittänyt, että he pelkäävät näiden avustuslaivojen luovan kanavan aseiden salakuljetukselle. Tämä siis siinä tapauksessa, että laivat menisivät suoraan Gazaan.
- Tämä aseiden salakuljetuksen pelko on aiheuttanut sen, että Gazaan menevät kuljetukset on "tullattu" Israelin satamissa. Tällä tavalla on ilmeisesti toimittu aiemmin ja sitä oli ehdotettu myös nyt tulleille avustuslaivoille.
- Gazassa on Israelille vihamielisiä terroristiaineksia, jotka ovat käyttäneet aseita Israelia vastaan ja varmasti tekevät niin jatkossakin, jos aseita käsiinsä saavat.
- Kansainvälisen oikeiden mukaan Israelilla on oikeus pysäyttää laivat ja tehdä edellämainitun kaltainen "tullaus".
- Laivalla tapahtunut konflikti oli molemminpuolinen. Televisiokuvissa näkyy selvästi, miten lasketuvia israelislaisia sotilaita alettiin aktiivisesti pamputtaa heti laivaan tulon myötä.
- Laivoilla olleet avustusaktivistit tiesivät erinomaisen hyvin, että konflikti tulee vastaan, mikäli ne yrittävät mennä suoraan Gazaan. Heillä oli tiedossa konfliktiton vaihtoehto (mennä Israelin sataman kautta), mutta he eivät tehneet sitä. Israelissa monet ovat sitä mieltä, että nämä rauhanaktivistit tahallaan aiheuttivat tämän tilanteen. Jos näin oli, niin he onnistuivat toimessaan erinomaisen hyvin ja saivat Israelin tuomittua roistovaltion kastiin jälleen kerran.

En tiedä, mikä asiassa on totuus. Luultavasti sellaista ei ole. Lähinnä ihmetyttää se, miten helppoa on manipuloida mediaa ja poliitikkoja tällaisiin vahvasti polarisoituneisiin kantoihin.